Гипотеза Пуанкаре

Обобщённая гипотеза Пуанкаре
Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает, что:

Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

Схема доказательства
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре, начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S3 / Γi, соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S3 / Γi и более того все Γi тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

История

Обложка журнала Science № 314(5807), 2006 год, провозглашающая доказательство гипотезы Пуанкаре «прорывом года».Гипотеза сформулирована французским математиком Пуанкаре в 1904 году. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом (англ.), независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для , его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом (англ.). Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона (англ.)) было найдено только в 2002 году Г. Я. Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных. Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном (англ.), который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки
Фридман (в 1986 году) и Перельман (в 2006 году) стали Филдсовскими лауреатами.
В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года» («Breakthrough of the Year»). Это первая работа по математике, заслужившая такое звание.
В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую статью «Manifold Destiny»(англ.), которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре.
18 марта 2010 года математический институт Клэя присудил Премию тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре Г. Я. Перельману.